quarta-feira, 27 de maio de 2009

Introdução



No início da civilização, os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser nômade e coletor de alimentos para fixar-se no solo. O homem começou a plantar, produzir alimentos, construir casas, proteções, fortificações e domesticar animais, tornando-se criador de animais domésticos, o que trouxe profundas modificações na vida humana.Com o passar do tempo, as quantidades foram representadas por expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povo tinha a sua maneira de representação. No começo da história da escrita de algumas civilizações como a egípcia, a babilônica e outras, os primeiros nove números inteiros eram anotados pela repetição de traços verticais. Com isso, o número natural foi criado e evolui com o passar do tempo como objeto da Matemática usado para descrever quantidade, ordem ou medida.Os números naturais não atenderam todas as necessidades do cotidiano, com isso foi criado o conjunto dos números inteiros que é representado pela letra Z maiúscula, no qual constitui os números positivos representados com o sinal de (+) positivo na frente ou com sinal nenhum (+2 ou 2), já os números negativos são representados com o sinal de negativo (-) na sua frente (-2). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}.No seu dia a dia é muito utilizado os números inteiros. Quando temos um crédito temos um número positivo, um débito é um número negativo, temperaturas acima de zero são positivas, abaixo de zero são negativos, também em relação ao nível do mar, os países que estão acima do nível do mar tem altitudes positivas, abaixo do nível do mar altitudes negativas, se você prestar atenção ao seu redor vai encontrar muitos números negativo e positivo.

Adição


Soma de dois númerosConsideramos um conjunto C formado pelos alunos de uma classe. Seja A o subconjunto constituído pelas moças e B pelos rapazes.Evidentemente, esses dois conjuntos são DISJUNTOS e a sua Reunião Determina o conjunto C, isto é.A U B=C2)DefiniçãoO numero de elementos do conjunto formado pela reunião de dois outros finitos e disjuntos é a soma dos elementos dos conjuntos dados.NotaçãoSendo “a” e “b” e ”c” respectivamente os numerais relativos números de elementos de cada um desses conjuntos, podemos escrevera+b=cA operação expressa pelo sina (+) chama-se Adição.Os numerais “a” e “b” são parcelas e o “c” é a soma ou total.4.Propriedades4.1 Fechamento:A soma de dois números naturais é um numero natural.Com efeito, se as parcelas são números naturais a soma também será um numero natural.Em símbolos,a∈N e b ∈N U(a+b)∈N4.2 Elementos Neutro:Existe no conjunto N um elemento, zero, cuja adição com outro elemento desse conjunto, em qualquer ordem, da para soma o mesmo elemento.Em símbolos,a+0=0+a=a4.3 Propriedade ComutativaA ordem das parcelas não altera a soma.Em símbolos,a+b=b+a4.4 Propriedades AssociativaO resultado de uma adição de mais de duas parcelas não se altera quando substituímos algumas dessas parcelas pela sua soma.Exemplo4+5+6=4+11=9+6=10+55) Sinais de reuniãoPara indicar que as operações dos termos que encerram devem ser consideradas como efetuadas, empregam-se os sinais.(parênteses)[conchetes]{chaves}6)Prova realVerifica-se a exatidão de uma soma, operando-se outra vez com o emprego de uma das suas propriedades:6.1 Somam-se as parcelas em outra ordem, PROPRIEDADE COMUTATIVA.6.2 Substituem-se grupos de parcelas pelas suas soma, PROPRIEDADE ASSOCIATIVA.


Exercício Resolvido



1. Citar as propriedades aplicadas às adições.


18 + 7= 7 + 18= comutativa


4 + 10 + 3 = 4 + 13= associativa


5 + (3 + 8) = (3 +8 ) + 5= comutativa


2.Suprimir os parênteses e efetuar a soma das seguintes expressões:


15 + (8 – 5)15 + 3R: 1820 + (7-2) + (1 + 3)20+5+4R: 293.


Preencher as lacunas com algarismos adequados nas adições:

5413

+ .27.

= 3274

-------

8687

Breve Histórico (Adição)

Esta historia se passou no pequeno principado de Braunschweig, Alemanha. Consta que numa certa escola publica desse principado, um professor apresentou uma tarefa para os alunos fazerem em classe. Não era um trabalho difícil, porem demandava tempo. O objetivo do professor era manter os alunos ocupados, e o problema era o de calcular a soma dos 100 primeiros números, ou seja, 1+2+3+...+100.Decorridos aproximadamente uns três minutos, um gurizinho de uns oito anos chegou-se ao professor com o seu caderno e disse: tai (ai está à solução). O professor com raiva imaginou que i menino estivesse brincando. Entretanto, pegando no caderno verificou que o trabalho estava correto.Perguntou-lhe como conseguira fazer tão rápido? O menino respondeu-lhe: não somei, escrevendo os números uns de baixo dos outros, porque verifiquei que somando o 1 com 100, o 2 com 99 e o 3 com 98, o 4 com 97 e assim sucessivamente, a soma da sempre 101. Como existem 50 desses pares de 1 a 100 então multipliquei 50 x 101= 5050.O professor que se chamava Buttner reconheceu e admirou, o notável trabalho do guri de 8 anos chamado de Karl Friedrich Gauss, mais tarde cognominado, o PRINCIPE DOS MATEMÁTICOS.

Subtração


1)Definição
Dados dois números naturais numa certa ordem, co m o primeiro maior ou igual ao segundo, chama-se SUBTRAÇÃO entre o primeiro e o segundo a OPERAÇÃO por meio da qual acha-se um terceiro que adicionado ao segundo da por soma o primeiro.ExemploOs números do par ordenado (8,2) São indistintamente os termos da subtração. O primeiro chama-se minuendo, o segundo, subtraendo e o terceiro (numero 6), diferença, resto ou excesso.

2) Relação fundamental
Entre os termos de uma subtração e a sua diferença, ocorre.Subtraendo + diferença = minuendo

3) Propriedades
Somando-se o mesmo numero ao minuendo e ao subtraendo, o resto não se altera.
Exemplo: 7-3=(7+2)-(3+2)=4

4) Observação
O resto varia no mesmo sentido do minuendo e no sentido contrario do subtraendo quando alteramos apenas um dos termos da subtração.Para, de um numero, subtrair uma soma, subtraem-se do numero,sucessivamente, todas as parcelas dessa soma.

Exemplo: 10- (5+2)=10-5-2=3

5) Complemento aritmético de um número.
É a diferença entre o numero e a unidade de ordem decimal imediatamente superior a mais elevada desse número.Exemplo,Calcular o complemento aritmético do numero 385.A unidade decimal imediatamente superior a mais elevada de 385 é o milhar. Logo, o complemento aritmético é a diferença:

1000-385= 615

6) Observação:
Na pratica subtrai-se o valor absoluto de cada algarismo, a partir da esquerda para direita, de 9; o ultimo significativo, de 10.O complemento aritmético do exemplo anterior é calculado assim:9910385____6157) AplicaçãoPode-se efetuar uma subtração com o emprego do complemento aritmético. Para esse fim adota-se o procedimento:· Soma-se ao minuendo o complemento aritmético do subtraendo.· Subtrai-se, em seguida, a unidade decimal mais elevada da soma obtida.
Exemplo Calcular a diferença:

721

-236

Solução

721

+764

------

1485

-1000

_____

485

8) Expressão aritmética
Calcula-se uma expressão aritmética efetuando-se as operações assinaladas. Quando figuram sinais de reunião, tais como chaves, envolvendo colchetes e estes contendo parênteses eliminam-se em primeiro lugar os parênteses, depois os colchetes e em seguida as chaves.Exemplo4+ {15-[2+ (7-3)+1]-2}Efetuando a diferença (7-3) suprimem-se os parênteses:4+ {15-[2+4+1]-2}FAZENDO A SOMA [2+4+1] eliminam-se os colchetes:4+{15-7-2}Com as subtrações realizadas 15-7-2 suprimem-se as chaves.Portanto4+{15-[2+(7-3)+1]-2}=10




9) Prova real
Fazendo a prova da subtração através da operação direta empregando a relação fundamental do nº 8.
Exemplo:

3472

-1684 1684

1788 1788

______

3472

Multiplicação




É a operação que faz corresponder a cada par ordenado, o produto do primeiro número pelo segundo.(5,6) 30(8,4) 32É a operação que faz corresponder a cada par ordenado, o produto do primeiro número pelo segundo.(5,6) 30(8,4) 32Casos particularesSe um dos fatores é a unidade, o produto é outro fator.Exemplos:4x1=41x7=7Multiplicação por zeroQuando um dos fatores é igual a zero, o produto é nulo se o outro fator é DIFERENTE DE ZERO.Exemplos:7x 0= 00x5=0PropriedadesFechamentoO produto de dois números inteiros é sempre um numero inteiro.5.2 Elemento NeutroO numero inteiro 1 é o elemento neutro do conjunto N em relação a operação de multiplicação, pois1x5=5x1=5ComutativaUm produto não altera quando se troca a ordem dos fatores.Exemplo:7x4=4x7AssociativaNão se modifica o resultado de uma multiplicação quando alguns dos fatores são substituídos pelo seu produto.DistributivaNa multiplicação de uma soma ou diferença por um numero inteiro, multiplica-se cada um dos seus termos por esse numero e somam-se ou subtraem-se os resultados.Exemplo:5x (2+7)=5x2+5x7

Divisão



Considerando a divisão exata dos números naturais, temos:

40 : 5 + 8, pois 5 x 8 = 40

36 : 9 = 4, pois 9 x 4 = 36 ,

Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão exata dos números inteiros. Vejamos os cálculos abaixo:

(+20) : (+5)

(+20) : (+5) = q então (+5) x q = (+20) então q = (+4)

Logo: (+20) : (+5) = (+4)
Considerando os exemplos dados, concluímos que: Para efetuar a divisão exata de um número inteiro por um outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Daí: Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo.
Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo. A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto dos inteiros, pois o resultado pode não ser um número inteiro.


Breve Histórico (Divisão)


Os babilônios e os hindus foram os primeiros povos a conhecem Divisão. Os atuais métodos de operação pertencem aos hindus. Os seus conhecimentos foram transmitidos para Europa pelos árabes. Em 1202 Leonardo da Pisa expôs o método e Oughtred propôs em 1647 o sinal : para indicar a divisão.

Fontes

Matemática Conceituação Moderna

Marcius Brandão

Editora do Brasil S.a



Site:

http://www.somatematica.com.br/



Blog:

http://www.matematica-na-veia.blogspot.com/